100个著名初等数学问题

100GreatProblemsofElementaryMathematics

|算术题1-26|平面几何题27-41|圆锥曲线和摆线题42-66|

|立体几何题67-76|航海与天文学题77-88|极值题89-100|

第01题阿基米德分牛问题Archimedes’ProblemaBovinum

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛

，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6

+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数

是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？

第02题德·梅齐里亚克的法码问题TheWeightProblemofBachetdeMeziriac

一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都

是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。

问这4块砝码碎片各重多少？

第03题牛顿的草地与母牛问题Newton’sProblemoftheFieldsandCows

a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；

a’头母牛将b’块地上的牧草在c’天内吃完了；

a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；

　　求出从a到c"9个数量之间的关系？

第04题贝韦克的七个7的问题Berwick’sProblemoftheSevenSevens

在下面除法例题中，被除数被除数除尽：

用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？

第05题柯克曼的女学生问题Kirkman’sSchoolgirlProblem

某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每

个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题TheBernoulli-EulerProblemoftheMisa

ddressedletters

求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler’sProblemofPolygonDivision

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas’ProblemoftheMarriedCouples

n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的

妻子并坐，问有多少种坐法？

第09题卡亚姆的二项展开式OmarKhayyam’sBinomialExpansion

当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。

第10题柯西的平均值定理Cauchy’sMeanTheore

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。

第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli’sPowerSumProblem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np。

第12题欧拉数TheEulerNumber

求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。

第13题牛顿指数级数Newton’sExponentialSeries

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。

第14题麦凯特尔对数级数NicolausMercator’sLogarithmicSeries

不用对数表，计算一个给定数的对数。

第15题牛顿正弦及余弦级数Newton’sSineandCosineSeries

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre’sDerivationoftheSecantandTan

gentSeries

在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于

两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。

试利用屈折排列推导正割与正切的级数。

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory’sArcTangentSeries

已知三条边，不用查表求三角形的各角。

第18题德布封的针问题Buffon’sNeedleProblem

在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面

上，问针触及两平行线之一的概率如何？

第19题费马-欧拉素数定理TheFermat-EulerPrimeNumberTheorem

每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。

第20题费马方程TheFermatEquation

求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。

第21题费马-高斯不可能性定理TheFermat-GaussImpossibilityTheorem

证明两个立方数的和不可能为一立方数。

第22题二次互反律TheQuadraticReciprocityLaw

（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式

（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]

第23题高斯的代数基本定理Gauss’FundamentalTheoremofAlgebra

每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。

第24题斯图谟的根的个数问题Sturm’sProblemoftheNumberofRoots

求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。

第25题阿贝尔不可能性定理Abel’sImpossibilityTheorem

高于四次的方程一般不可能有代数解法。

第26题赫米特-林德曼超越性定理TheHermite-LindemannTranscedenceTheorem

系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不

可能等于零。

第27题欧拉直线Euler’sStraightLine

在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，

而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接

圆的圆心至各中线的交点的距离。

第28题费尔巴哈圆TheFeuerbachCircle

三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一

个圆上。

第29题卡斯蒂朗问题Castillon’sProblem

将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。

第30题马尔法蒂问题Malfatti’sProblem

在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。

第31题蒙日问题Monge’sProblem

画一个圆，使其与三已知圆正交。

第32题阿波洛尼斯相切问题TheTangencyProblemofApollonius

画一个与三个已知圆相切的圆。

第33题马索若尼圆规问题Macheroni’sCompassProblem

证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。

第34题斯坦纳直尺问题Steiner’sStraight-edgeProblem

证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便

可作出。

第35题德里安倍立方问题TheDeliaiiCube-doublingProblem

画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。

第36题三等分一个角TrisectionofanAngle

把一个角分成三个相等的角。

第37题正十七边形TheRegularHeptadecagon

画一正十七边形。

第38题阿基米德π值确定法Archimedes’DeterminationoftheNumberPi{/color]

设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米

德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1

的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫

作阿基米德算法。

[color=blue]第39题富斯弦切四边形问题Fuss’ProblemoftheChord-TangentQua

drilateral

找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切

四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）

第40题测量附题AnnextoaSurvey

利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen’sBilliardProblem

在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。

第42题由共轭半径作椭圆AnEllipsefromConjugateRadii

已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。

第43题在平行四边形内作椭圆AnEllipseinaParallelogram

在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。

第44题由四条切线作抛物线AParabolafromFourTangents

已知抛物线的四条切线，作抛物线。

第45题由四点作抛物线AParabolafromFourPoints

过四个已知点作抛物线。

第46题由四点作双曲线AHyperbolafromFourPoints

已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。

第47题范·施古登轨迹题VanSchooten’sLocusProblem

平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是

什么？

第48题卡丹旋轮问题Cardan’sSpurWheelProblem

一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描

出的轨迹是什么？

第49题牛顿椭圆问题Newton’sEllipseProblem

确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。

第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题ThePoncelet-BrianchonHyperbolaProblem

确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。

第51题作为包络的抛物线AParabolaasEnvelope

从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线

段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，

2，1，0。

求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。

第52题星形线TheAstroid

直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。

第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner’sThree-pointedHypocycloid

确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络。

第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆TheMostNearlyCircularEllipseCircu

mscribingaQuadrilateral

一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？

第55题圆锥曲线的曲率TheCurvatureofConicSections

确定一个圆锥曲线的曲率。

第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes’SquaringofaParabola

确定包含在抛物线内的面积。

第57题推算双曲线的面积SquaringaHyperbola

确定双曲线被截得的部分所含的面积。

第58题求抛物线的长RectificationofaParabola

确定抛物线弧的长度。

第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues’HomologyTheorem

(TheoremofHomologousTriangles)

如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直

线上。反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶

点连线通过一点。

第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner’sDoubleElementConstruction

由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。

第61题帕斯卡六边形定理Pascal’sHexagonTheorem

求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。

第62题布里昂匈六线形定理Brianchon’sHexagramTheorem

求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。

第63题笛沙格对合定理Desargues’InvolutionTheorem

一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一

个对合的四个点偶。一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该

四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。

*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交

点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。

第64题由五个元素得到的圆锥曲线AConicSectionfromFiveElements

求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的。

第65题一条圆锥曲线和一条直线AConicSectionandaStraightLine

一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们

的交点。

第66题一条圆锥曲线和一定点AConicSectionandaPoint

已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该

曲线的切线。

第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner’sDivisionofSpacebyPlanes

n个平面最多可将整个空间分割成多少份？

第68题欧拉四面体问题Euler’sTetrahedronProblem

以六条棱表示四面体的体积。

第69题偏斜直线之间的最短距离TheShortestDistanceBetweenSkewLines

计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。

第70题四面体的外接球TheSphereCircumscribingaTetrahedron

确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。

第71题五种正则体TheFiveRegularSolids

将一个球面分成全等的球面正多边形。

第72题正方形作为四边形的一个映象TheSquareasanImageofa

Quadrilateral

证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象。

第73题波尔凯-许瓦尔兹定理ThePohlke-SchwartzTheorem

一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四

面体的各隅角的斜映射。

第74题高斯轴测法基本定理Gauss’FundamentalTheoremofAxonometry

正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，

三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和

等于零。

第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus’StereographicProjection

试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法。

第76题麦卡托投影TheMercatorProjection

画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的。

第77题航海斜驶线问题TheProblemoftheLoxodrome

确定地球表面两点间斜驶线的经度。

第78题海上船位置的确定DeterminingthePositionofaShipatSea

利用天文经线推算法确定船在海上的位置。

第79题高斯双高度问题Gauss’Two-AltitudeProblem

根据已知两星球的高度以确定时间及位置。

第80题高斯三高度问题Gauss’Three-AltitudeProblem

从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的

高度。

第81题刻卜勒方程TheKeplerEquation

根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角。

第82题星落StarSetting

对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角。

第83题日晷问题TheProblemoftheSundial

制作一个日晷。

第84题日影曲线TheShadowCurve

当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点

投影所描绘的曲线。

第85题日食和月食SolarandLunarEclipses

如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知

，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值。

第86题恒星及会合运转周期SiderealandSynodicRevolutionPeriods

确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期。

第87题行星的顺向和逆向运动ProgressiveandRetrogradeMotionofPlanets

行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？

第88题兰伯特慧星问题Lambert’sCometProlem

借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间。

第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner’sProblemConcerningtheEulerNumber

如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？

第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano’sAltitudeBasePointProblem

在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形。

第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat’sProblemforTorricelli

试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小。

第92题逆风变换航向TackingUnderaHeadwind

帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？

第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）TheHoneybeeCell(ProblembyReaumur)

试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预

定的容积，而其表面积为最小。

第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus’MaximumProblem

在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大

？）

第95题金星的最大亮度TheMaximumBrightnessofVenus

在什么位置金星有最大亮度？

第96题地球轨道内的慧星ACometInsidetheEarth’sOrbit

慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？

第97题最短晨昏蒙影问题TheProblemoftheShortestTwilight

在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？

在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？

第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner’sEllipseProblem

在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面

积？

第99题斯坦纳的圆问题Steiner’sCircleProblem

在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积。

反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长。

第100题斯坦纳的球问题Steiner’sSphereProblem

在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积。

在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面。